Sztankay Klára Budapesten született muzsikus családban. Szülei zongoratanárok voltak. Édesapja, Sztankay Lajos, mint Bartók tanítvány, szólistaként Dohnányi Ernő vezényletével többször is fellépett, majd Dohnányi rektorsága alatt ő volt a Zeneakadémia titkára. Klárát ő tanította, aki 12 éves korában már Mozart A-dúr zongoraversenyét játszotta zenekarral.

Édesapja halála után a budapesti Zeneakadémián folytatta tanulmányait Nádor György, Lantos István és Rados Ferenc tanítványaként. 

Diplomavizsgája után korrepetítorként tanított a Zeneakadémián és a Szent István Konzervatórium zongoratanára volt.

A gyerekek születése után főállású anya lett. Az utóbbi években szabadúszó előadóművészként koncertezik. A magyarországi koncertek és a tanítás mellett fellépett Romániában, Németországban, Jordániában, Izraelben is.
Férje Bánkövi Gyula Erkel- és Bartók-Pásztory-díjas zeneszerző.